Всем нам еще в школе начинают рассказывать многие непреложные истины, на которых часто базируется понимание молодых людей о происходящем вокруг. Так, в конце школьного курса математики, мы получаем знание о использовании людьми всего мира мнимой единицы, для расширения знакомых нам ранее чисел до нового абстрактного уровня. Определение записанное в учебниках просто для понимания и указывает оно на то, что запретная ранее область - корень квадратный из отрицательных чисел - находит новую жизнь под покровительством мнимой единицы.
Итак, более формально:
Определение: Мнимой единицей называется корень квадратный из минус единицы и обозначается следующим образом 
Собственно загвоздка, которую способен обнаружить любой школьник:
Пояснения:
1. Первое равенство пришло из определения.
2. Второе образовалось из понимания того, что любое (подчеркиваю: любое) число разделенное на единицу равно само себе.
3. Далее имеем полное право умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля, в данном случае это число -1. При этом получаем в числителе единицу, а в знаменателе -1.
4. Корень из дроби равен корню из числителя поделенному на корень из знаменателя.
5. Корень из единицы есть не что иное, как сама единица.
6. Из определения можем смело заменить корень из -1 на i.
Итого: 
7. Домножим обе части равенства на i (на вполне законных основаниях, поскольку коэффициент домножения отличен от нуля): 
8. Однако исходя из определения (а точнее нашего определения возведённого в квадрат) следует, что: 
Результат: 
Собственно вопрос: Какое из утверждений/преобразований не верно?
Posts
Здорово!
ReplyDeleteЕсть аналогичные доказательства того, что 4=5 (без привлечения комплексных чисел, поэтому его прекрасно могут понять пятиклассники).
Ну а это уже можно давать умудрённым опытом первокурам, чтобы не зазнавались :)
Ух ты. А вот и автор статьи, сподвигшей меня на пост. Спасибо Вам за ответ и хороший блог.
ReplyDeleteСобственно, данную задачку я как раз в университете и раздавал всем. Про 4=5 я тоже в курсе, но это более известная задачка, нежели приведенная, на мой взгляд :)
Немного смущает переход от (корень(1/(-1)))=(корень(1)/корень(-1))... если память не изменяет то такой переход корректен для неотрицательных с ненулевым знаменателем
ReplyDeleteТак точно. Для неотрицательных. Но вопрос в том, что мы только что избавились от "комплекса неотрицательности" введением понятия "Мнимая единица" :) Дальнейшие рассуждения прошу в студию.
ReplyDeleteИзбавится от комплексов это конечно неплохо :) но доказательство корректности такого преобразования все равно приведено не было.
ReplyDeleteТогда, в ответ, прошу привести доказательства некорректности. Дело в том, что неотрицательность следует из утверждения о том, что корень квадратный из отрицательного числа - не существует.
ReplyDeleteВведя же дополнительное понятие корня из -1 мы расширяем своё понятие о числах и тем самым не имеем более права пользоваться утверждением, основанным на отрицании введённого только что понятия :)
Приятно, что кого-то статья зацепила...
Да легко :)
ReplyDeleteВыполняя преобразования из (корень(1/(-1))) влево
и из (корень(1)/корень(-1)) вправо (кстати твои преобразования) получаем соответственно (и) и (1/(и)). А так как эти числа не равны то и изначальные тоже не равны
Почитай: http://my-tribune.blogspot.com/2009/09/blog-post_26.html
ReplyDeleteПопробуй решить эту задачку.
А затем прочти: http://my-tribune.blogspot.com/2009/09/blog-post_28.html
Дело в том, что сказать, что доказательство не верно - не значит, понять истинную причину ошибки. То, что доказательство не верно - ясно любому, но вот почему это так - вопрос гораздо более интересный.
Что-то навевает мысли о несокрушимом столбе и всесокрушающем ядре...
ReplyDeleteДа просто в школе нас учили, что sqrt(x/y) = sqrt(x) / sqrt (y) (только, когда x, y положительные действительные числа).
ReplyDeleteДавай сюда еще про зеркала и руки)
А как на счет того, чтобы вспомнить о корректности получения квадратного корня из единицы? Напоминаю, что корень квадратный из единицы имеет два варианта ответа, как единицу, так и минус единицу. С минус единицей все превосходно решается кстати.
ReplyDeleteto Banan:
ReplyDeleteЭто и есть правильный ответ, собственно говоря. Суть в том, что определение "Мнимой единицей называется корень квадратный из минус еденицы" не корректно, хотя и вводиться в школьной программе именно так.
Верное определение звучит следующим образом: "Мнимой единице называется такое число, квадрат которого равен минус еденице". ;)
Вот-вот!) Я сам уже немало времени убил на подобные задачи, только я доходил по другому:
ReplyDelete1 = 1
1 = корень из 1
1 = корень из ( -1 * -1 )
1 = корень из -1 * корень из -1
1 = i * i
1 = i^2
1 = -1
Я тут посидел, еще немного подумал над всеми этими задачами и мнимой единицой в целом и пришел к выводу, что все намного проще (в плане задач) и интереснее (в плане самой мнимой единицы) =)
ReplyDeleteДаже не знаю с чего начать =)
Начну, пожалуй, с того, откуда берутся подобные ошибки в задачах:
Дело все в том, что изначально нам действительно дают неправильное определение, i действительно не равно корню из -1! "Мнимой единицой называется такое число, квадрат которого равен минус еденице" - это более верное определение. В таком случае, что такое корень из -1 и откуда он взялся? А вот и ответ:
корень из -1 = корень из i^2
А если хорошо вспомнить законы математики, то там говорится, что квадратный корень из квадрата числа А, есть |A|, т.е. если продолжить цепочку, то получается, что:
корень из -1 = корень из i^2 = |i|
Именно оттуда и идут все ошибки. Кстати, получается, что и из-под корня мы извлекаем отрицательное число неверно! Ну наверняка все помнят элементарные примерчики, которые давались сразу после теории, попрактиковаться =) Так вот, получается, что решали мы их неправильно, и записываться они должны так:
(к примеру вычислить корень из -16)
корень из -16 = корень из ( 16 * i^2 ) = 16 * |i|, а не 16i, как это мы делали!
Теперь попробуем решить задачи с нашей поправкой:
1) для начала мой вариант
1 = 1
1 = корень из 1
1 = корень из ( -1 * -1 )
1 = корень из -1 * корень из -1
1 = |i| * |i|
1 = |i^2|
1 = |-1|
1 = 1
Все сошлось =)
2) Со второй задачей (пользователя PASTor) чуть сложнее, для полного ее обоснования, необходимо заглянуть чуть дальше, так что пока я поставлю здесь звездочки и вернусь к ней чуть позже. ***
Теперь перейдем к самой мнимой единице. Тут все намного интересней =)
Как мы знаем, квадрат любого числа (действительного), есть число положительное, так как "+" * "+" = "+" и "-" * "-" = "+", а для того, чтобы при перемножении двух чисел получить отрицательное значение, необходимо, чтобы одно число было положительным, а второе отрицательным. Т.е. равенство i^2 = -1 возможно только при подобном выражении:
i^2 = i * i = корень из -1 * минус корень из -1 = минус корень из ( -1 * -1 ) = минус корень из 1 = -1
т.е. выходит, что число i не имеет строгоопределенного значения, и может быть как корнем из -1, так и минус корнем из -1! По-моему, это гениально! Человечество от статичной числовой оси постепенно переходит к динамичной!!! =)
*** Так вот, вернемся собственно к нерешенной задаче. Во-первых, совершена та же самая ошибка с модулем мнимой единицы. А во-вторых, можно ли теперь с уверенностью утверждать, о законности домножения обоих частей равенства на мнимую единицу, если она, по пока что непонятной мне закономерности, постоянно меняет свое значение? Так что я думаю, лучше избежать данного казуса, и домножить на статичное число (|i|).
Учтя все поправки, получим:
|i| = корень из -1 = корень из ( -1 / 1 ) = корень из ( 1 / -1 ) = корень из 1 / корень из -1 = 1 / корень из -1 = 1 / |i|
Далее полученое равенство домножаем на |i| и получаем:
|i| * |i| = ( 1 / |i| ) * |i|
| i * i | = |i| / |i|
|i^2| = 1
|-1| = 1
1 = 1
Все опять же сошлось =)
P.S. тот кто дочитал до этого места, похоже имеет немалое терпение =)
Как мы знаем, квадрат любого числа (действительного), есть число положительное...
DeleteЕсли речь идет об арифмитическом корне, то это верно.
Он извлекается только из положительных чисел всегда положителен по
определению.
Но здесь надо говорить об алгебраическом корне, поскольку
корень извлекается из -1. Алгебраический корень 2-й степени
имеет 2 значения, хоть из положительного, хоть отрицательного
числа и из комплексного тоже.
...т.е. выходит, что число i не имеет строгоопределенного значения, и может быть как корнем из -1, так и минус корнем из -1! По-моему, это гениально! Человечество от статичной числовой оси постепенно переходит к динамичной!!! =)
Уравнение типа x^2-1=0 тоже имеет два вещественных решения 1 и -1. сравни с x^2+1=0. Что здесь такого?